Månens runda skiva. Horisontens
raka linje. Sjöns släta yta. Äggets ovala skal. Det
finns många former i naturen som är enkla och regelbundna
och som går att beskriva med den klassiska geometrins räta
linjer, cirklar, trianglar och välformade kurvor. Men vågorna,
bergen, molnen, träden - och drakens rygg? Hur ska man beskriva
alla oregelbundna former, vars konturer är sönderbrutna
och förgrenade?
 |
Sådana sönderbrutna
former kallas för fraktaler. Det kommer av det latinska
ordet fractus som betyder bruten. Förutom att fraktaler
är sönderbrutna, upprepas samma mönster om
och om igen. Om en liten del av fraktalen förstoras,
ser delen ut som hela fraktalen. Som hos blomkålshuvudet.
Varje liten del av kålhuvudet ser i förstoring
nästan likadan ut som hela huvudet. |
Fraktaler kan sägas vara naturens egen geometri. Och man kan
själv ganska enkelt rita en fraktal, som drakens rygg. Det
behövs bara papper, penna, linjal - och lite tålamod.
Den kallas von Kochs kurva efter en svensk matematiker, Helge von
Koch.
Rita en fraktal
 Rita
en sträcka och dela den i tre lika stora delar. Ta bort den
mittersta delen och lägg till två sidor av en liksidig
triangel. (I en liksidig triangel är alla sidor lika långa.)
Den nya figuren består av fyra lika långa sidor. Upprepa
proceduren med var och en av figurens sidor:
- varje sida delas i tre delar
- den mittersta delen av varje sida tas bort
- varje sida byggs på med två sidor
i en liksidig triangel.
Fortsätt på samma sätt
med alla de nybildade sidorna och upprepa förfarandet om
och om igen. Konturen blir mer och mer tillknycklad. Efter oändligt
många steg har den förvandlats till en oändligt
lång kurva som bryts i varje punkt - en fraktal.
von Kochs kurva är en matematiska modell, som ger en ganska
bra bild av drakens rygg eller, varför inte, en kuststräcka,
en bergskedja eller ett korallrev.
Räkna antalet trianglar på drakens rygg
När man första gången klickar på linjen
poppar det upp en grön liksidig triangel, dvs. alla sidor
lika långa och alla vinklar lika stora. När man klickar
igen, poppar det upp fyra mindre trianglar, som alla har exakt
samma form som den gröna, fast mindre.
| |
Hur många trianglar blir det
i nästa steg? (256 = 2 )
Och i nästa? (1024 = 2 )
Och så vidare i all oändlighet. Först då
är drakens rygg en fraktal.
|
Rita en snöflinga
 |
|
Utgå
från en liksidig triangel. Gör exempelvis sidan
9 centimeter. |
| |
Steg 1: Dela varje
sida i triangeln i tre lika stora delar. Ta bort den mittersta
tredjedelen av varje sida. Lägg till två sidor
i en liksidig triangel i varje tomrum. Det ger en sexkantig
stjärna med 12 sidor, alla lika långa. I exemplet
3 cm. Snöflingan har nu 3·4 sidor. Omkretsen är
12·3=36 cm |
| |
Steg 2: Upprepa proceduren.
Dela varje sida i tre lika delar. Ta bort den mittersta tredjedelen
av varje sida och lägg till två sidor i en liksidig
triangel. Det bildas en grov snöflinga med 3·4·4=3·4 =48
sidor, alla lika långa. I exemplet 1 cm. Då växer
omkretsen till 48·1=48 cm. |
| |
Steg 3: Upprepa
proceduren. Snöflingan har nu 3·4·4·4=3·4 sidor,
alla lika långa. I exemplet 1/3 cm. Omkretsen är
192·1/3=64 cm. |
| |
Steg 4:
Upprepa proceduren. Snöflingan har nu 3·4·4·4·4=3·4 sidor,
alla lika långa, i exemplet 1/9 cm. Omkretsen blir 768·1/9=85
1/3 cm. |
| |
|
Och så vidare. I steg 10 ska talet
4 multipliceras med sig självt tio gånger, alltså
blir det 3·4=3145728
sidor. Efter steg n (n betyder ett heltal, vilket som helst) har
flingan 3·4
sidor.
Vid varje upprepning växer snöflingans omkrets med en
tredjedel av sin längd, och den växer oavbrutet. Snöflingan
är en fraktal.
|
.